《固体物理学》作业01

提交时间:2月27日, 周2, 课前

1. 德鲁达模型中的τ (AM 1.1)

假设电子在无穷小的时间段dt上发生碰撞事件的几率为dt/τ, τ>0. 不同时间发生的碰撞事件之间没有关联.

(a) 证明电子在有限t时间段上不发生碰撞的几率是et/τ.

(b) 证明从任意时刻开始计时, 到下一次碰撞的平均时间为τ, 距离上一次碰撞的平均时间亦为τ.

(c) 证明连续两次碰撞的平均间隔时间为τ.

(d) 从任意时刻开始计时, 电子上次碰撞和下次碰撞的平均时间间隔是τ还是2τ? 请给出其分布, 并计算平均.

2. 库伦拖拽的德鲁达模型

考虑两个平行放置的二维电子体系(标记1, 2), 之间由绝缘电介质隔离, 不会漏电. 但是两层之间的电子可以发生库伦散射. 考虑两层中电子的运动方程

(2)dv1dt=em1E1+em1[v1×B]v1τ1v1v2τD,dv2dt=em2E2+em2[v2×B]v2τ2v2v1τD.

在第一层体系施加电场,引起第一层的电流可以通过库伦散射与第二层中的电子交换动量, 带动第二层中发生电流. 这样的现象称为库伦拖拽(Coulomb drag).

简单起见, 我们将假设两层电子体系完全相同, m1=m2=m, τ1=τ2=τ, 不考虑磁场, B=0. 设第一层中施加的电场沿x方向. 如果体系只有纵向电流,Ji, i=1,2, 都沿着x方向:

(3)[J1J2]=[σ11σ12σ21σ22][E1E2].

请计算拖拽电阻ρD=ρ12.

3. 估算下列物质的费米温度

(a) 液态氦-3, 密度 81 kg m3​.

(b) 中子星中的中子, 密度1017 kg m3​.

(c) 金属锂 (请给出密度和数据来源).

4. 电子气的压强

(a) 对于只有一种微观粒子热力学相, 其热力学势定义为Ω(T,V,μ)=UTSμN​. 试证明状态方程

(4)pV+Ω=0

(b) 对于无相互作用体系, 热力学势可以写为

(5)Ω=kBTilognieni(εiμ)/kBT=iΩi.

其中ni是能级εi的占据数. 对于无相互作用电子体系, 由于泡利不相容原理, 单粒子态i的占据数ni=0,1, 平均占据数

(6)ni=(Ωiμ)T,n=f0(εi)

正是费米分布. 请证明对于λ0

(7)p(λμ,λT)=λ5/2p(μ,T).

(c) 进一步证明对于有限温度电子气如下关系成立

(8)pV=23U.