《固体物理学》作业04

提交时间：3月19日, 周2, 课前

1. 一维原子链的衍射

$a$ $f_0(x-na), n =\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$ .

$f_0(x)=\delta(x)$ , 请计算其理想衍射信号, 并绘制示意图.

$f_0(x)=\sqrt{b/\pi}\exp(-b x^2)$ $b>0, \; \sqrt{1/2b}\ll a$ , 请计算其理想衍射信号, 并绘制示意图.

$f_0(x)=\delta(x)$ $L$ $a\ll L<\infty$ , 试讨论衍射信号的变化, 并绘制示意图.

$\hat{\boldsymbol R}$ 的所有晶面族的衍射斑点落在同一条圆锥曲线上(椭圆或者双曲线, 不会有抛物线).

$\boldsymbol k = \sum_{i=1}^{d} k_i\boldsymbol b_i$ $\boldsymbol b_i$ $k_i$ 由波恩-冯卡曼边条件, 取值为

\begin{matrix} (1) & k_{i} = \frac{p_{i}}{N_{i}}, \end{matrix}

$p_i$ $N_i$ $\boldsymbol a_i$ 方向上重复的次数. 试证明如下正交关系

\begin{matrix} (2) & \sum_{R} e^{i k \cdot R} = N δ_{k, G} \end{matrix}

$N=N_1N_2\cdots N_d$ $N_i\rightarrow \infty$ .

$\boldsymbol k$ , 考虑如下级数

\begin{matrix} (3) & f_{k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{R} e^{i k \cdot R} f_{R} . \end{matrix}

试证明

\begin{matrix} (4) & f_{R} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k \in BZ} e^{- i k \cdot R} f_{k} . \end{matrix}

$\boldsymbol k\in \text{BZ}$ 表示仅在(第一)布里渊区中求和.

$a$ 的一维晶体, 考察如下函数

$\psi(x) = \sin(\pi x/a)$ ,

$\psi(x)= e^{\mathrm i2\pi/3}\cos(7\pi x/a)$ ,

$\psi(x)= \mathrm i \cos(\pi x/2a)$ ,

$\psi(x) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(x-ma/2)$ $f(x)$ 为任意满足波函数要求的函数.

$k$ .