《固体物理学》作业05

提交时间：3月26日, 周2, 课前

1. 布拉格面相交处的近自由电子模型 (AM 9.3)

$\boldsymbol k_{\text W} =\frac{2\pi}{a}[1,1/2,0]^T$ $(200)$ $(111)$ $(11\bar 1)$ . 因此, 四支自由电子能带在W点简并, 分别为

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ε_{1}^{0} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} k^{2}, \\ ε_{2}^{0} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(k - \frac{2 π}{a} [1, 1, 1]^{T})}^{2}, \\ ε_{3}^{0} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(k - \frac{2 π}{a} [1, 1, \overset{―}{1}]^{T})}^{2}, \\ ε_{4}^{0} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(k - \frac{2 π}{a} [2, 0, 0]^{T})}^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

展示在W附近的能带可以近似为如下多项式方程的解

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} | \begin{array}{llll} ε_{1}^{0} - ε & U_{1} & U_{1} & U_{2} \\ U_{1} & ε_{2}^{0} - ε & U_{2} & U_{1} \\ U_{1} & U_{2} & ε_{3}^{0} - ε & U_{1} \\ U_{2} & U_{1} & U_{1} & ε_{4}^{0} - ε \end{array} | = 0, \end{matrix} \end{matrix}

$U_2=U_{200}, U_1=U_{111}=U_{11 \overline{1}}$ . 求解W处的能级.

$2a$ $a$ $-t$ $-\Delta$ $\Delta$ .

(a) 写下电子的紧束缚哈密顿量.

$k$ 空间哈密顿量, 求解能带色散关系, 并手绘在第一布里渊区中的能带示意图.

$k$ 点)上下能带的波函数, 试分析能隙出现的原因.

六方密堆积单原子层的格矢为

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} a_{1} = a [\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}], a_{2} = a [\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}] . \end{matrix} \end{matrix}

$-t$ .

(a) 写下电子的紧束缚哈密顿量.

$k$ 空间哈密顿量, 求解能带色散关系.

\begin{matrix} (4) & \begin{matrix} b_{1} = \frac{4 π}{\sqrt{3} a} [\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}], b_{2} = \frac{4 π}{\sqrt{3} a} [\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}] . \end{matrix} \end{matrix}

布里渊区中三个特殊点分别为

\begin{matrix} (5) & \begin{matrix} Γ & : & [0, 0]^{T}, \\ K & : & \frac{1}{3} (b_{2} - b_{1}), \\ M & : & \frac{1}{2} (b_{1} + b_{2}) . \end{matrix} \end{matrix}

请计算在这三个点的能带有效质量.

(d) 思考题：试计算着三点附近的电子态密度.

石墨烯中的电子在K点附近的有效哈密顿量

\begin{matrix} (6) & \begin{matrix} H = v_{F} [\begin{matrix} 0 & p_{x} - i p_{y} \\ p_{x} + i p_{y} & 0 \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

$v_{\text F}>0$ $p_x,p_y$ 为动量算符的笛卡尔分量.

(a) 由于体系具有平移不变性(哈密顿量和动量对易), 其本征态有如下形式

\begin{matrix} (7) & ψ_{k} (r) = \frac{e^{i k \cdot r}}{\sqrt{S}} u_{k} \end{matrix}

$\varepsilon_{\boldsymbol k}$ $u_{\boldsymbol k}$ .

(b) 计算贝里联络

\begin{matrix} (8) & A_{x} (k) = ⟨ u_{k} | i \partial_{k_{x}} | u_{k} ⟩, A_{y} (k) = ⟨ u_{k} | i \partial_{k_{y}} | u_{k} ⟩ . \end{matrix}

$\varepsilon_{\text F}\neq 0$ $\mathcal C$ 上转一圈的线积分

\begin{matrix} (9) & \oint_{C} d k \cdot A (k) . \end{matrix}