《固体物理学》作业06

提交时间：4月2日, 周2, 课前

1. 贝里联络和瓦尼尔函数

$a$ $R=na$ 的瓦尼尔函数为

\begin{matrix} (1) & | w_{R} ⟩ = \frac{1}{N} \sum_{k \in BZ} | ψ_{k} ⟩ e^{- i k R} . \end{matrix}

$\langle\psi_k|\psi_{k'}\rangle = N\delta_{kk'}$ . 定义瓦尼尔函数的中心

\begin{matrix} (2) & \bar{R} = ⟨ w_{R} | x | w_{R} ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} d x w_{R}^{*} (x) x w_{R} (x) . \end{matrix}

(a) 试证明

\begin{matrix} (3) & \bar{R} = R + \int_{BZ} \frac{d k}{2 π / a} A (k) . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (4) & A (k) = ⟨ u_{k} | i \frac{d}{d k} | u_{k} ⟩_{晶 胞} \end{matrix}

也就是整个布里渊区的贝利相位对应了瓦尼尔函数中心的位置.

(b) 如果对布洛赫函数作规范变换, 并保持周期规范,

\begin{matrix} (5) & | ψ_{k} ⟩ \mapsto e^{i θ (k)} | ψ_{k} ⟩, \end{matrix}

$\bar R$ 会发生的变化.

$\boldsymbol k_0$ 附近电子口袋的色散关系为

\begin{matrix} (6) & ε (k) = ε (k_{0}) + \frac{ℏ^{2}}{2} \sum_{α β} [m_{*}^{- 1}]_{α β} (k - k_{0})_{α} (k - k_{0})_{β}, \end{matrix}

$m_*$ $\alpha,\beta = x,y,z$ .

(a) 请计算对应这个电子口袋的态密度(不用考虑自旋简并).

(b) 通过求解半经典运动方程(忽略贝利曲率), 并结合德鲁达理论的基本假设, 展示这个电子口袋的电导率张量为

\begin{matrix} (7) & σ = n e^{2} τ m_{*}^{- 1}, \end{matrix}

$\tau$ $n$ 是口袋中的电子密度.

$K$ 点附近的有效哈密顿量

\begin{matrix} (8) & \begin{matrix} H = v_{F} [\begin{matrix} 0 & p_{x} - i p_{y} \\ p_{x} + i p_{y} & 0 \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

$v_{\text F}>0$ $p_x,p_y$ 为动量算符的笛卡尔分量.

(a) 由于体系具有平移不变性(哈密顿量和动量对易), 其本征态有如下形式

\begin{matrix} (9) & ψ_{k} (r) = \frac{e^{i k \cdot r}}{\sqrt{S}} u_{k} \end{matrix}

$\varepsilon_{\boldsymbol k}$ $u_{\boldsymbol k}$ .

$\varepsilon_{\text F}> 0$ $\mathcal C$ 上逆时针转一圈的线积分

\begin{matrix} (10) & \oint_{C} d k \cdot A (k) = - π . \end{matrix}

$2\pi$ 的整数倍也是可以的.