《固体物理学》作业07

完成时间：4月9日, 周2. 不用提交

1. 半经典运动方程

对于布洛赫电子的半经典运动方程

试证明哈密顿量函数$H=\epsilon (\mathit{k})+V(\mathit{r})$$H=\varepsilon(\boldsymbol k)+V(\boldsymbol r)$为守恒量.

2. 石墨烯中的杂质散射

石墨烯中的电子在$K$$K$点附近的有效哈密顿量

其中$v_{\text{F}}>0$$v_{\text F}>0$为费米速度, $p_x,p_y$$p_x,p_y$为动量算符的笛卡尔分量. 由于体系具有平移不变性(哈密顿量和动量对易), 其本征态有如下形式

其中$S$$S$为样品面积, ${\varphi }_{\mathit{k}}$$\phi_{\boldsymbol k}$是$k_x+\mathrm{i}{k}_y$$k_x+\mathrm ik_y$的幅角, $\pm$$\pm$对应电子/空穴型能带${\epsilon }_{\mathit{k}}=\pm \hslash v_{\text{F}}k$$\varepsilon_{\boldsymbol k}=\pm\hbar v_{\text F}k$.

(a) 考虑如下杂质势(仅描述$K$$K$点附近的散射, 称为谷内散射, 不能描述$K$$K$和$K^{\prime }$$K’$之间的散射)

其中${\mathit{r}}_i$$\boldsymbol r_i$为杂质所处的晶胞对应的格矢. 对于电子型能带${\psi }_{\mathit{k}}^{+}$$\psi^+_{\boldsymbol k}$, 证明散射速率(除以$k$$k$空间相体积元)$W_{\mathit{k}\leftarrow {\mathit{k}}^{\prime }}$$W_{\boldsymbol k\leftarrow \boldsymbol k'}$具有如下形式

(b) 试讨论(a)中的结果对一个沿着$x$$x$方向前进的电子(${\varphi }_{{\mathit{k}}^{\prime }}=0$$\phi_{\boldsymbol k'}=0$)的散射, 及对电导产生的可能的影响. 仅考虑单个电子的散射, 不用考虑初态末态的占据情况.

3. 热流密度

在材料中单位体积内热量的变化速率为

其中$u,\mu ,n$$u, \mu, n$为局域内能密度、化学势和电子密度. 内能的变化来源于能量流和电场做工

其中电子所携带的${\mathit{j}}^E$$\boldsymbol j^E$为能量流(这里并不扣除化学势), $\mathit{j}$$\boldsymbol j$为电流密度. 试证明

其中$\mathit{F}=\mathit{E}+e^{-1}\mathrm{\nabla }\mu$$\boldsymbol F=\boldsymbol E+e^{-1}\nabla\mu$, 热流密度${\mathit{j}}^Q={\mathit{j}}^E-\mu {\mathit{j}}^N$$\boldsymbol j^Q= \boldsymbol j^E -\mu\boldsymbol j^N$ (${\mathit{j}}^N$$\boldsymbol j^N$为电子数流密度).