《固体物理学》作业08

提交时间：4月23日, 周2. 课前.

1. 一维双原子链

$M$ $a$ $k_1$ $k_2$ . 试证明这样系统的晶格振动频率为

\begin{matrix} (1) & ω^{2} = ω_{0}^{2} \pm \sqrt{ω_{0}^{4} - 4 ν^{4} \sin^{2} (q a / 2)}, \end{matrix}

$\omega_0^2=(k_1+k_2)/M$ $\nu^2=\sqrt{k_1k_2}/M$ .

$M$ 的原子等间距排列, 晶格势能有如下形式

\begin{matrix} (2) & V = \sum_{n} \sum_{m > 0} \frac{1}{2} K_{m} [u (n a) - u (n a + m a)]^{2} \end{matrix}

(a) 试证明晶格振动的色散关系为

\begin{matrix} (3) & ω = 2 \sqrt{\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{K_{m}}{M} \sin^{2} (\frac{m q a}{2})} . \end{matrix}

$\sum_{m>0} m^2K_m$ 收敛, 在长波极限有

\begin{matrix} (4) & ω = a \sqrt{\frac{1}{M} \sum_{m > 0} m^{2} K_{m}} | q | . \end{matrix}

$K_m = m^{-p}$ $1<p<3$ $\sum_{m>0} m^2K_m$ 不收敛. 试证明长波极限有

\begin{matrix} (5) & ω \propto | q |^{(p - 1) / 2} . \end{matrix}

提示:

\begin{matrix} (6) & \int_{0}^{\infty} t^{- z} \sin^{2} t d t = - 2^{z - 2} Γ (1 - z) \sin (π z / 2), 如 果 1 < Re z < 3. \end{matrix}

$p=3$ $K_m= K /m^3$ $\omega_0=\sqrt{K/M}$ $q\rightarrow 0$ $\omega$ 的领头阶为

\begin{matrix} (7) & ω = ω_{0} \sqrt{- (a q)^{2} \log | a q |} . \end{matrix}

$(z)$ 为自然对数.

(a) 在简谐近似下, 单原子晶体的势能展开形式为

\begin{matrix} (8) & V = V_{0} + \frac{1}{2} \sum_{R α, R^{'} β} V^{α β} (R - R^{'}) u^{α} (R) u^{β} (R^{'}) . \end{matrix}

$\boldsymbol R$ $\boldsymbol R'$ $K(\boldsymbol R-\boldsymbol R')$ , 所以晶体势能为

\begin{matrix} (9) & V = V_{0} + \frac{1}{4} \sum_{R α, R^{'} β} (u^{α} (R) - u^{α} (R^{'})) K^{α β} (R - R^{'}) (u^{β} (R) - u^{β} (R^{'})) . \end{matrix}

$K(\boldsymbol R-\boldsymbol R')=K(\boldsymbol R'-\boldsymbol R)$ . 试证明

\begin{matrix} (10) & V^{α β} (R - R^{'}) = \sum_{R^{″}} K^{α β} (R - R^{″}) δ_{R R^{'}} - K^{α β} (R - R^{'}) . \end{matrix}

(b) 试证明对于如上弹簧连接的单原子晶体

\begin{matrix} (11) & \int ω^{2} g (ω) d ω = \frac{n}{M} \sum_{R \neq 0} \sum_{α} K^{α α} (R), \end{matrix}

$n$ $M$ $g(\omega)$ 为声子的单位体积态密度.