《固体物理学》作业09

提交时间：5月7日, 周2. 课前.

1. 二维方格子的晶格振动

$a$ $M$ , 原子间的相互作用能为

\begin{matrix} (2) & V = \frac{1}{2 a^{2}} \sum_{(i, j)} K (i, j) [(R_{i} - R_{j}) \cdot (u_{i} - u_{j})]^{2}, \end{matrix}

$(i,j)$ $(i,j)$ $K(i,j)=K_1$ $(i,j)$ $K(i,j)=K_2$ $(i,j)$ $K(i,j)=0$ . 请计算沿最近邻方向的简正模态的频率、极化矢量.

利用热力学关系

\begin{matrix} (3) & P = - \frac{\partial}{\partial V} (U - T \int_{0}^{T} \frac{d T^{'}}{T^{'}} \frac{\partial U (T^{'}, V)}{\partial T^{'}}), \end{matrix}

验证简谐晶体的压强为

\begin{matrix} (4) & P = - \frac{\partial E_{0}}{\partial V} - \sum_{q s} \frac{\partial ℏ ω_{q s}}{\partial V} \frac{1}{e^{ℏ ω_{q} / k_{B} T} - 1}, \end{matrix}

$E_0=V_0+\sum_{qs}\frac{1}{2}\hbar\omega_{\boldsymbol qs}$ .

$\phi(x-x')$ 耦合,

\begin{matrix} (5) & V = \frac{1}{2} \sum_{m, n} ϕ (x (m a) - x (n a)) = \frac{1}{2} \sum_{m, n} ϕ (m a + u (m a) - n a - u (n a)), \end{matrix}

$m,n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$ $\phi(x-x')$ $a$ $\phi(x-x')$ $m-n=\pm1$ $q$ 依赖的格鲁奈森参数为

\begin{matrix} (6) & γ_{q} = - \frac{a}{2} \frac{ϕ^{‴} (a)}{ϕ^{″} (a)}, \end{matrix}

$q$ 无关.