《固体物理学》作业10

提交时间：5月14日, 周2. 课前.

1. 整数量子霍尔效应

$x$ $y$ $L_x\times L_y\rightarrow \infty$ $z$ $\boldsymbol A = Bx\hat{\boldsymbol y}$ . 电子哈密顿量

\begin{matrix} (1) & H = \frac{1}{2 m} [p_{x}^{2} + (p_{y} + e B x)^{2}] . \end{matrix}

$p_y$ 对易, 所以波函数可以写为

\begin{matrix} (2) & Ψ_{n} (x, y) = \frac{1}{\sqrt{L_{y}}} e^{i k y} ψ_{n k} (x), \end{matrix}

$k$ $n$ 是对应另一个方向运动的量子数.

$\varepsilon_n =(n+1/2)\hbar\omega_c$ $\omega_c=eB/m$ .

(b) 验证朗道能级的简并度为

\begin{matrix} (3) & g_{n} = \frac{Φ}{h / e} \end{matrix}

$\Phi=BL_xL_y$ 为穿过样品的磁通.

$n=0$ ,

\begin{matrix} (4) & ψ_{n k} (x) = \frac{\exp [- (x + k ℓ_{B}^{2})^{2} / 2 ℓ_{B}^{2}]}{\sqrt{π^{1 / 2} ℓ_{B}}} \end{matrix}

$\ell_B^2=\hbar/eB$ $y$ 方向的电流期望值. 注意电流密度为

\begin{matrix} (5) & j (x, y) = - \frac{e}{m} Ψ (x, y)^{*} (p + e A (x, y)) Ψ (x, y) . \end{matrix}

$x$ $\boldsymbol E= E\hat{\boldsymbol x}$ $n=0$ 波函数, 和对应的电流期望值的影响.

考虑两个原子轨道形成的二聚体. 紧束缚近似下的跃迁哈密顿量为

\begin{matrix} (6) & V = - t \sum_{s =↑, ↓} c_{1 s}^{†} c_{2 s} + H.c., \end{matrix}

$1,2$ $s=\uparrow,\downarrow$ $c^\dagger,c$ $\{c_a, c_b^\dagger\}=\delta_{ab}$ .

定义算符

\begin{matrix} (7) & n_{j s} = c_{j s}^{†} c_{j s}, j = 1, 2, s =↑, ↓, \end{matrix}

引入哈伯德相互作用(Hubbard interaction)

\begin{matrix} (8) & H_{0} = U \sum_{j = 1, 2} n_{j ↑} n_{j ↓} . \end{matrix}

$U\gg t>0$ $V$ 为微扰.

$H_0$ 的本征态可以分为一组能量为0的三重态

\begin{matrix} (9) & | ↑, ↑ ⟩, | ↓, ↓ ⟩, \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑, ↓ ⟩ + | ↓, ↑ ⟩), \end{matrix}

能量为0的单态

\begin{matrix} (10) & | Ψ_{0} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑, ↓ ⟩ - | ↓, ↑ ⟩), \end{matrix}

$U$ 的两个单态

\begin{matrix} (11) & | Ψ_{1} ⟩ = | ↑↓, 0 ⟩, | Ψ_{2} ⟩ = | 0, ↑↓ ⟩ . \end{matrix}

以上六个态正交归一.

$\boldsymbol S=\boldsymbol S_1+\boldsymbol S_2$ , 其中

\begin{matrix} (12) & S_{j} = \frac{ℏ}{2} \sum_{α, β =↑, ↓} c_{j α}^{†} σ_{α β} c_{j β}, j = 1, 2. \end{matrix}

请验证

\begin{matrix} (13) & [V, S] = 0 . \end{matrix}

$V$ $V$ 在三重态中的矩阵元为零. 因此跃迁只会在影响自旋单态.

$\Psi_0,\Psi_1,\Psi_2$ 为基展开跃迁哈密顿量, 得到如下形式哈密顿量矩阵

\begin{matrix} (14) & \begin{matrix} V_{单态} = [\begin{matrix} 0 & V_{01} & V_{02} \\ V_{10} & U & 0 \\ V_{20} & 0 & U \end{matrix}], \end{matrix} \end{matrix}

$V_{01}, V_{02}$ $V_{\text{单态}}$ $t$ $E_0\approx -{4t^2}/{U}$ , 波函数(未归一化)近似为

\begin{matrix} (15) & | {\tilde{Ψ}}_{0} ⟩ \propto U | Ψ_{0} ⟩ + t (| Ψ_{1} ⟩ + | Ψ_{2} ⟩) . \end{matrix}

$\Psi_0$ $U$ 的单态, 发生能级排斥, 破除原本的单态和三重态基态简并. 新的单态能量比三重态低, 这就对应了交换能

\begin{matrix} (16) & J = \frac{4 t^{2}}{U} > 0, \end{matrix}

可见动能弛豫诱导了反铁磁耦合.