《固体物理学》作业11

提交时间：5月21日, 周2. 课前.

1. 铁磁自旋波准经典近似

$d$ $J>0$ )

\begin{matrix} (1) & H = - J \sum_{R} \sum_{ξ} S_{R} \cdot S_{R + ξ} \end{matrix}

$\boldsymbol R$ $\boldsymbol \xi=\pm \boldsymbol a_i$ $(i=1,2,\cdots d$ )为指向最近邻的矢量. 自旋算符满足如下对易关系

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} [S_{i}^{x}, S_{j}^{y}] = i ℏ S_{i}^{z} δ_{i j}, 及 x, y, z 的循环排列; \\ [S_{i}^{z}, S_{j}^{\pm}] = \pm ℏ S_{i}^{\pm} δ_{i j}; \\ [S_{i}^{+}, S_{j}^{-}] = 2 ℏ S_{i}^{z} δ_{i j} . \end{aligned} \end{matrix}

$\mathrm i\hbar \dot A = [H,A]$ $S_{\boldsymbol R}^+$ 满足如下运动方程

\begin{matrix} (3) & {\dot{S}}_{R}^{+} = - i J \sum_{δ} (S_{R + δ}^{z} S_{R}^{+} - S_{R}^{z} S_{R + δ}^{+}) . \end{matrix}

$S\gg \hbar$ $S^z= S\hbar$ 的微小偏转. 引入准经典近似

\begin{matrix} (4) & S^{z} \approx S ℏ, \end{matrix}

$S_{\boldsymbol R}^+(t)$ 为经典变量, 验证运动方程(3)可以得到如下色散关系

\begin{matrix} (5) & ℏ ω_{k} = 2 S ℏ^{2} J F (k), \end{matrix}

$F(\boldsymbol k)$ 的具体表达式.

$a_{\boldsymbol k}^\dagger$ $\boldsymbol k$ $b_{\boldsymbol k}^\dagger$ $\boldsymbol k$ 的声子模态. 对于有磁-弹耦合的体系, 自旋波-声子耦合可以由如下模型哈密顿量描述

\begin{matrix} (6) & H = \sum_{k} ℏ ω_{k} a_{k}^{†} a_{k} + ℏ ν_{k} b_{k}^{†} b_{k} + V_{k} (a_{k}^{†} b_{k} + a_{k} b_{k}^{†}), \end{matrix}

$\omega_{\boldsymbol k}, \nu_{\boldsymbol k},V_{\boldsymbol k}>0$ .

引入算符变换

\begin{matrix} (7) & \begin{matrix} a_{k}^{†} = \cos (θ_{k}) A_{k}^{†} + \sin (θ_{k}) B_{k}^{†}, \\ b_{k}^{†} = \cos (θ_{k}) B_{k}^{†} - \sin (θ_{k}) A_{k}^{†} . \end{matrix} \end{matrix}

验证哈密顿量对角化的条件是

\begin{matrix} (8) & \tan 2 θ_{k} = \frac{2 V_{k}}{ℏ ν_{k} - ℏ ω_{k}} . \end{matrix}

$\omega_k =\omega_0$ $\nu_\boldsymbol k= vk$ $V_{\boldsymbol k}\ll \omega_0$ $A_{\boldsymbol k}^\dagger$ $B_\boldsymbol k^\dagger$ 的表达式.