《固体物理学》作业01

提交时间：3月10日, 周2, 课前

1. 霍尔电导率矩阵与霍尔系数

我们在xy平面上对一个载流的二维样品施加沿z方向的磁场B. 正如讲义中所述，在此情况下，电场E与电流密度j通过电阻率矩阵关联：

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} E = [\begin{matrix} ρ_{x x} & ρ_{y x} \\ ρ_{x y} & ρ_{y y} \end{matrix}] j \end{matrix} \end{matrix}

$\rho_{xx}$ $\rho_{xy}$ $B$ 变化的示意图.

(b) 通过求逆电阻率矩阵，得到电导率矩阵：

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{y x} \\ σ_{x y} & σ_{y y} \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

$\boldsymbol j$ $\boldsymbol E$ 的函数.

(d) 给出霍尔系数的定义. 霍尔系数的正负表示什么物理意义？

$(e)$ $(p)$ $-e$ $m_e$ $n_e$ $\tau_e$ $+e$ $m_p$ $n_p$ $\tau_p$ . 两种粒子的运动均可以用德鲁达模型描述, 且相互之间没有耦合.

$x$ $y$ $+z$ $B$ $x$ $j_x$ $y$ $j_y$ 为零. 定义两种粒子的迁移率

\begin{matrix} (3) & μ_{i} = \frac{e τ_{i}}{m_{i}}, i = e, p . \end{matrix}

$B$ $x$ $v_{e,x}$ $v_{p,x}$ )的影响, 请计算直流条件下该体系的霍尔系数

\begin{matrix} (4) & R_{H} = \frac{E_{y}}{j_{x} B} = \frac{n_{p} μ_{p}^{2} - n_{e} μ_{e}^{2}}{e (n_{e} μ_{e} + n_{p} μ_{p})^{2}} . \end{matrix}

$^{-3}$ .

$^{17}$ $^{-3}$ .

$\Omega(T,V,\mu) = U-TS-\mu N$ . 试证明状态方程

\begin{matrix} (5) & p V + Ω = 0 \end{matrix}

(b) 对于无相互作用体系, 热力学势可以写为

\begin{matrix} (6) & Ω = - k_{B} T \sum_{i} \log \sum_{n_{i}} e^{- n_{i} (ε_{i} - μ) / k_{B} T} = \sum_{i} Ω_{i} . \end{matrix}

$n_i$ $\varepsilon_i$ $i$ $n_i=0,1$ , 平均占据数

\begin{matrix} (7) & ⟨ n_{i} ⟩ = - {(\frac{\partial Ω_{i}}{\partial μ})}_{T, n} = f^{0} (ε_{i}) \end{matrix}

$\lambda\ge0$ 有

\begin{matrix} (8) & p (λ μ, λ T) = λ^{5 / 2} p (μ, T) . \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & p V = \frac{2}{3} U . \end{matrix}