《固体物理学》作业04

提交时间：3月31日, 周2, 课前

1. 冯劳厄单晶衍射

$\hat{\boldsymbol R}$ 的所有晶面族的衍射斑点落在同一条圆锥曲线上.

使用德拜-雪勒粉末衍射仪解析立方晶体的结构. 示意图如下

$\phi$ 角如下

(a) 请辨认A, B, C样品最有可能的结构.

$\mathrm\AA$ $a$ .

$\phi$ 最小的四个衍射峰的角度, 及其分别对应的晶面(族).

$\boldsymbol k = \sum_{i=1}^{d} k_i\boldsymbol b_i$ $\boldsymbol b_i$ $k_i$ 由波恩-冯卡曼边条件, 取值为

\begin{matrix} (1) & k_{i} = \frac{p_{i}}{N_{i}}, \end{matrix}

$p_i$ $N_i$ $\boldsymbol a_i$ 方向上重复的次数. 试证明如下正交关系

\begin{matrix} (2) & \sum_{R} e^{i k \cdot R} = N δ_{k, G} \end{matrix}

$N=N_1N_2\cdots N_d$ $N_i\rightarrow \infty$ .

$\boldsymbol k$ , 考虑如下级数

\begin{matrix} (3) & f_{k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{R} e^{i k \cdot R} f_{R} . \end{matrix}

试验证

\begin{matrix} (4) & f_{R} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k \in BZ} e^{- i k \cdot R} f_{k} . \end{matrix}

$\boldsymbol k\in \text{BZ}$ 表示仅在(第一)布里渊区中求和.

$M$ $a$ $k_1$ $k_2$ . 试证明这样系统的晶格振动频率为

\begin{matrix} (5) & ω^{2} = ω_{0}^{2} \pm \sqrt{ω_{0}^{4} - 4 ν^{4} \sin^{2} (q a)}, \end{matrix}

$\omega_0^2=(k_1+k_2)/M$ $\nu^2=\sqrt{k_1k_2}/M$ .