《固体物理学》作业05

提交时间：4月7日, 周2. 课前.

1. 短程和长程相互作用: 一维单原子链为例

$M$ 的原子等间距排列, 晶格势能有如下形式

\begin{matrix} (1) & V = \sum_{n} \sum_{m > 0} \frac{1}{2} K_{m} [u (n a) - u (n a + m a)]^{2} \end{matrix}

(a) 试证明晶格振动的色散关系为

\begin{matrix} (2) & ω = 2 \sqrt{\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{K_{m}}{M} \sin^{2} (\frac{m q a}{2})} . \end{matrix}

$\sum_{m>0} m^2K_m$ 收敛, 在长波极限有

\begin{matrix} (3) & ω = a \sqrt{\frac{1}{M} \sum_{m > 0} m^{2} K_{m}} | q | . \end{matrix}

$K_m = m^{-p}$ $1<p<3$ $\sum_{m>0} m^2K_m$ 不收敛. 试证明长波极限有

\begin{matrix} (4) & ω \propto | q |^{(p - 1) / 2} . \end{matrix}

提示:

\begin{matrix} (5) & \int_{0}^{\infty} t^{- z} \sin^{2} t d t = - 2^{z - 2} Γ (1 - z) \sin (π z / 2), 如 果 1 < Re z < 3. \end{matrix}

$p=3$ $K_m= K /m^3$ $\omega_0=\sqrt{K/M}$ $q\rightarrow 0$ $\omega$ 的领头阶为

\begin{matrix} (6) & ω = ω_{0} \sqrt{- (a q)^{2} \log | a q |} . \end{matrix}

$(z)$ 为自然对数.

(a) 在简谐近似下, 单原子晶体的势能展开形式为

\begin{matrix} (7) & V = V_{0} + \frac{1}{2} \sum_{R α, R^{'} β} V^{α β} (R - R^{'}) u^{α} (R) u^{β} (R^{'}) . \end{matrix}

$\boldsymbol R$ $\boldsymbol R'$ $K(\boldsymbol R-\boldsymbol R')$ , 所以晶体势能为

\begin{matrix} (8) & V = V_{0} + \frac{1}{4} \sum_{R α, R^{'} β} (u^{α} (R) - u^{α} (R^{'})) K^{α β} (R - R^{'}) (u^{β} (R) - u^{β} (R^{'})) . \end{matrix}

$K(\boldsymbol R-\boldsymbol R')=K(\boldsymbol R'-\boldsymbol R)$ . 试证明

\begin{matrix} (9) & V^{α β} (R - R^{'}) = \sum_{R^{″}} K^{α β} (R - R^{″}) δ_{R R^{'}} - K^{α β} (R - R^{'}) . \end{matrix}

(b) 试证明对于如上弹簧连接的单原子晶体, 下面的关系成立

\begin{matrix} (10) & \int ω^{2} g (ω) d ω = \frac{n}{M} \sum_{R \neq 0} \sum_{α} K^{α α} (R), \end{matrix}

$n$ $M$ $g(\omega)$ 为声子的单位体积态密度.

$d$ $a$ $a^d$ $L^d$ $N_c= L^d/a^d$ . 在简谐近似下, 只考虑关联中各向同性的贡献时德拜-沃勒因子为

\begin{matrix} (11) & e^{- 2 W (Q)} \approx \exp (- \frac{Q^{2}}{d} ⟨ ⟨ u_{R} \cdot u_{R} ⟩ ⟩) \end{matrix}

$\hbar\boldsymbol Q$ $\boldsymbol u_{\boldsymbol R}$ $\boldsymbol R$ 的原子位移,

\begin{matrix} (12) & u_{R} = \frac{1}{\sqrt{N_{c} M}} \sum_{q s} \sqrt{\frac{ℏ}{2 ω (q s)}} (a (q s) + a (- q s)^{†}) \hat{ϵ} (- q s) e^{i q \cdot R}, \end{matrix}

记号同讲义.

$\hbar\omega(\boldsymbol qs) = \gamma |q|\;(s=1,\cdots, d)$ $T=0$ , 德拜-沃勒因子的指数部分可以写为

\begin{matrix} (13) & 2 W (Q) = A (Q) Ω_{d} {(\frac{a}{2 π})}^{d - 1} \int_{δ}^{k_{D}} d k k^{d - 2}, \end{matrix}

$A(Q)$ $\Omega_d$ $d$ $q=0$ 的平动模态对原子涨落没有贡献, 所以动量积分下界取(这称为红外截断)

\begin{matrix} (14) & δ = \frac{2 π}{L} . \end{matrix}

$\boldsymbol G$ 处的德拜-沃勒因子为

\begin{matrix} (15) & e^{- 2 W (G)} = {(\frac{k_{D} L}{2 π})}^{- α} \to 0, 当 L \to \infty, \end{matrix}

$\alpha(G)>0$ $A$ 有关的量. 也就是说一维晶体在零温下由于量子涨落, 在衍射实验中不会产生有限强度的衍射信号.

$d=2$ $T>0$ $q \rightarrow 0$ , 对玻色-爱因斯坦分布引入如下近似

\begin{matrix} (16) & \frac{1}{e^{ε_{k s} / k_{B} T} - 1} \approx \frac{k_{B} T}{γ | q |}, \end{matrix}

$T>0$ )也不会发生衍射.